Question

設(shè)y=cos²x-msinx+n的最大值為0，最小值為-4，求m，n的值．

Answer 1

分析：先令sinx=t將y=cos²x-msinx+n轉(zhuǎn)化為關(guān)于t且t∈[-1，1]的一元二次函數(shù)，然后求出其對(duì)稱軸，再對(duì)m的值進(jìn)行討論從而可確定函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)其最值可求出m，n的值．

解答：解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=cos²x-msinx+n=1-sin²x-msinx+n，
y=-（sinx+

m

2

）²+

m2

4

+n+1=-（t+

m

2

）²+

m2

4

+n+1
∴y=-（t+

m

2

）²+

m2

4

+n+1，對(duì)稱軸為t=-

m

2

，
當(dāng)-

m

2

≤-1即m≥2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，
y_max=y|_t=-1=m+n=0，y_min=y|_t=1=-m+n=-4，解得：m=2，n=-2；
當(dāng)-

m

2

≥1即m≤-2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，
y_max=y|_t=1=-m+n=0，y_min=y|_t=-1=m+n=-4，解得：m=-2，n=-2；
當(dāng)-1＜-

m

2

＜1即-2＜m＜2時(shí)，y_max=y|_t=-

m

2

=

m2

4

+n+1=0，
再當(dāng)-

m

2

≥0即m≤0時(shí)，y_min=y|_t=-1=m+n=-4，得m=-2，不符合-2＜m＜2，
當(dāng)-

m

2

＜0，即m＞0時(shí)，y_min=y|_t=1=-m+n=-4，得m=10，不符合-2＜m＜2，
綜上所述：m=2，n=-2或m=-2，n=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和一元二次函數(shù)的單調(diào)性以及最值的問題．考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．屬于中檔題．