Question

3．從拋物線y²=2x上的點(diǎn)A（x₀，y₀）（x₀＞2）向圓（x-1）²+y²=1引兩條切線分別與y軸交B，C兩點(diǎn)，則△ABC的面積的最小值是8．

Answer 1

分析 設(shè)B（0，y_B），C（0，y_C），A（x₀，y₀），其中x₀＞2，寫出直線AB的方程為（y₀-y_B）x-x₀y+x₀y_B=0，由直線AB與圓相切可得（x₀-2）y_B²+2y₀y_B-x₀=0，同理：（x₀-2）y_A²+2y₀y_A-x₀=0，故y_A，y_B是方程（x₀-2）y²+2y₀y-x₀=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，因?yàn)镾=$\frac{1}{2}$|y_C-y_B|x₀，再結(jié)合韋達(dá)定理即可求出三角形的最小值．

解答 解：設(shè)B（0，y_B），C（0，y_C），A（x₀，y₀），其中x₀＞2，
所以直線AB的方程，化簡(jiǎn)得（y₀-y_B）x-x₀y+x₀y_B=0
直線AB與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，兩邊平方化簡(jiǎn)得（x₀-2）y_B²+2y₀y_B-x₀=0
同理可得：（x₀-2）y_A²+2y₀y_A-x₀=0，
故y_C，y_B是方程（x₀-2）y²+2y₀y-x₀=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以y_C+y_B=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$，y_Cy_B=$\frac{{x}_{0}}{2-{x}_{0}}$，
所以S=$\frac{1}{2}$|y_C-y_B|x₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-2}$=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8，
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)，S取到最小值8，
所以△ABC的面積的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及直線與圓的位置關(guān)系，正確利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．