Question

16．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a+1．
（1）若f（x）是區(qū)間[0，2]上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）條件下，記M（a）是|f（x）|在區(qū)間[0，2]上的最大值，求證：M（a）≥$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：f′（x）≥0在[0，2]恒成立或f′（x）≤0在[0，2]恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）對(duì)a分類討論，分別判斷出f（x）的單調(diào)性、求出最大值或最小值，再根據(jù)a的范圍求出|f（x）|的最大值，并證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
∵f（x）是區(qū)間[0，2]上的單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[0，2]恒成立或f′（x）≤0在[0，2]恒成立，
∴f′（1）=a-1≥0或f′（0）=f′（2）=a≤0，
解得a≥1或a≤0，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）；
證明：（2）由（1）得：①當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_最小值=f（0）=-a+1≤0，f（x）_最大值=f（2）=a-$\frac{1}{3}$，
又|f（0）|=a-1＜a-$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)a≥1時(shí)：M（a）=a-$\frac{1}{3}$≥$\frac{2}{3}$＞$\frac{5}{12}$；
②當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，2]單調(diào)遞減，
∴f（x）_最小值=f（2）=a-$\frac{1}{3}$＜0，f（x）_最大值=f（0）=-a+1
又|f（2）|=-a+$\frac{1}{3}$＜f（0），
∴當(dāng)a≤0時(shí)：M（a）=-a+1≥1＞$\frac{5}{12}$，
綜上可得，M（a）≥$\frac{5}{12}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．