Question

13．直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，2）的距離與它到y(tǒng)=-1距離之差為1，
（1）求點(diǎn)P的軌跡C
（2）點(diǎn)A（3，1），P在曲線(xiàn)C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出方程，由此能求出曲線(xiàn)C的方程；
（2）要使|PA|+|PF|的值最小，則三點(diǎn)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)點(diǎn)P為直線(xiàn)AF與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即可

解答 解：（1）（1）設(shè)P（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，2）的距離與它到y(tǒng)=-1距離之差為1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=y+2$，整理得x²=8y
∴點(diǎn)P的軌跡C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸的拋物線(xiàn)．
（2）如圖，要使|PA|+|PF|的值最小，則三點(diǎn)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，
此時(shí)點(diǎn)P為直線(xiàn)AF與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)．
直線(xiàn)AF方程：x+3y-6=0
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6=0}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$得P（$\frac{4\sqrt{10}-4}{3}$，$\frac{-4\sqrt{10}+22}{9}$）
|PA|+|PF|的最小值為$\sqrt{（3-0）^{2}+（1-2）^{2}}=\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，要使|PA|+|PF|的值最小，則三點(diǎn)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．