Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）
（1）若直線x-y-2=0過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程，并求出準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)p=2，A，B是C上異于坐標(biāo)原點O的兩個動點，滿足OA⊥OB，△ABO的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），由點（$\frac{p}{2}$，0）在直線x-y-2=0上，能求出拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程．
（2）由p=2，知C：y²=4x．設(shè)AB：x=my+n，將AB的方程代入C得：y²-4my-4n=0． 由OA⊥OB，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0．將y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n代入上式得n=4．由此能求出m=0時，△AOB的面積最小，最小值為16．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），…（2分）
由于點（$\frac{p}{2}$，0）在直線x-y-2=0上，得$\frac{p}{2}-0-2=0$，即p=4，…（3分）
所以拋物線C的方程為y²=8x，其準(zhǔn)線方程為x=-2． …（5分）
（2）∵p=2，∴C：y²=4x．設(shè)AB：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）．
將AB的方程代入C得：y²-4my-4n=0． …（7分）
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0．
將y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n代入上式得n=4． …（9分）
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}×4×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=8$\sqrt{{m}^{2}+4}$，…（11分）
∴m=0時，即A（4，4），B（4，-4）時，△AOB的面積最小，最小值為16．…（12分）

點評 本題考查拋物線方程及其準(zhǔn)線方程的求法，考查三角形面積是否存在最小值的判斷與求法，考查拋物線、韋達(dá)定理、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．