Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q滿足

PQ

與

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線l，使直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足AF₂⊥BF₂？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用F₁，F(xiàn)₂是左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q滿足

PQ

與

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|，可得|QF₁|=2a=4，即可得到圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為1的直線方程為x-y+a=0，圓C與直線x-y+a=0的交點(diǎn)于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．將直線與圓C方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合AF₂⊥BF₂建立關(guān)于x₁、x₂、a的方程組，解出a即可得到存在斜率為1的直線滿足題中的條件．

解答： 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q滿足

PQ

與

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|．
∴|QF₁|=2a=4，
∵F₁（-1，0），
∴點(diǎn)Q的軌跡C的方程是（x+1）²+y²=16；
（2）設(shè)斜率為1的直線方程為x-y+a=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與圓方程聯(lián)立消去y，得方程2x²+（2a+2）x+a²-15=0，
∴△=124+8a-4a²＞0．
利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁+x₂=-1-a，x₁x₂=

1

2

（a²-15）①，
若AF₂⊥BF₂，則可得1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y_1^y2=0，
結(jié)合y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，代入可得1+2x₁x₂+（-1+a）（x₁+x₂）+a²=0②
由①②聯(lián)解可得a=±

13

，此時(shí)△=124+8a-4a²＞0．
∴a=±

13

，
∴存在斜率為1的直線x-y±

13

=0，使其與圓C交于A、B兩點(diǎn)滿足AF₂⊥BF₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求解，考查學(xué)生的待定系數(shù)法和函數(shù)方程思想，以及直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查解析幾何中垂直問題的一般解題思路，屬于中檔題．