Question

已知焦點在x軸上的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長為4，且點（1，

3

2

）在該橢圓上．直線l：x=my+1與橢圓交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線y=kx（k＞0）與橢圓交于不同的兩點C，D，當m=-1時，求四邊形ABCD 面積的最大值；
（3）在x軸上是否存在點M，使得直線MA與直線MB的斜率之積為定值．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用長軸長為4，且點（1，

3

2

）在該橢圓上，求出a，b，即可求橢圓的標準方程；
（2）表示出四邊形ABCD的面積，利用導數(shù)求出最大值；
（3）直線x=my+1代入橢圓方程，表示出直線MA與直線MB的斜率之積，即可得出結論．

解答： 解：（1）由已知a=2，
點（1，

3

2

）代入橢圓方程，可得b=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（2）x=-y+1代入橢圓方程可得5x²-8x=0，∴A（0，1），B（1.6，-0.6）．
y=kx代入橢圓方程可得（1+4k²）x²=4，
∴|CD|=

1+k2

•

4

1+4k2

，
∴S_ABCD=

1

2

|CD|（d_A-CD+d_b-CD）=

16

5

•

k+1

1+4k2

，
令f（x）=

x+1

4x2+1

，則f′（x）=

1-4x

( 4x2+1 )3

∴f（x）在（0，

1

4

）上遞增，在（

1

4

，+∞）上遞減，
∴k=

1

4

時，四邊形ABCD面積的最大值為

8 5

5

；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），則
直線x=my+1代入橢圓方程，可得（m²+4）y²+2my-3=0
∴k_MA•k_MB=

y1

x1-x0

•

y2

x2-x0

=

-3

(x02-4)m2+4(1-x0)2

，
∴x₀=2時，直線MA與直線MB的斜率之積為定值-

1

12

．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．