Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，對于任意的n＞1，n∈N^*，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{n}{{2}^{{a}_{n}}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）對于任意的n＞1，n∈N^*，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），S_n+2+S_n=2（S_n+1+1），
相減可得：a_n+2+a_n=2a_n+1．（*）
又n=2時，S₃+S₁=2（S₂+1），即2a₁+a₂+a₃=2（a₁+a₂+1），a₁=2，a₂=4，解得a₃=6．
∴n=1時（*）也滿足．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{n}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{2n}}$=$\frac{n}{{4}^{n}}$，
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{4}+\frac{2}{{4}^{2}}+\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{2}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{4}^{n}}$+$\frac{n}{{4}^{n+1}}$，
可得：$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{n}{{4}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n}{{4}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+n}{9×{4}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．