Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{2a-{x^2}}}{e^x}（a∈R）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2a＞x²-e^x對?x≥1成立，令g（x）=x²-e^x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{{x^2}-2x-2a}}{e^x}$，
當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時(shí)，x²-2x-2a≥0，故f'（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無減區(qū)間．
當(dāng)$a＞-\frac{1}{2}$時(shí)，令x²-2x-2a=0$⇒{x_1}=1-\sqrt{2a+1}$，${x_2}=1+\sqrt{2a+1}$，
列表：

x	$（-∞，1-\sqrt{2a+1}）$	$（1-\sqrt{2a+1}，1+\sqrt{2a+1}）$	$（1+\sqrt{2a+1}，+∞）$
f'（x）	+	-	+
f（x）	遞增	遞減	遞增

由表可知，當(dāng)$a＞-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為$（-∞，1-\sqrt{2a+1}）$和$（1+\sqrt{2a+1}，+∞）$，
遞減區(qū)間為$（1-\sqrt{2a+1}，1+\sqrt{2a+1}）$．
（Ⅱ）∵$f（x）＞-1?\frac{{2a-{x^2}}}{e^x}＞-1$?2a＞x²-e^x，
∴由條件，2a＞x²-e^x對?x≥1成立．
令g（x）=x²-e^x，h（x）=g'（x）=2x-e^x，
∴h'（x）=2-e^x
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，h'（x）=2-e^x≤2-e＜0，
∴h（x）=g'（x）=2x-e^x在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）=2x-e^x≤2-e＜0，即g'（x）＜0
∴g（x）=x²-e^x在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）=x²-e^x≤g（1）=1-e，
故f（x）＞-1在[1，+∞）上恒成立，只需2a＞g（x）_max=1-e，
∴$a＞\frac{1-e}{2}$，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1-e}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．