Question

設(shè)z₁是虛數(shù)，z₂=z₁+

1

z1

是實(shí)數(shù)，且-1≤z₂≤1，求|z₁|的值以及z₁實(shí)部的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：設(shè)z₁=a+bi，a，b∈R且b≠0，可得z₂，由實(shí)數(shù)可得a，b的式子，可得|z₁|的值和a的范圍．

解答： 解：設(shè)z₁=a+bi，a，b∈R且b≠0，
則z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i
∵z₂是實(shí)數(shù)，b≠0，于是有a²+b²=1，即|z₁|=1，還可得z₂=2a
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
∴z₁的實(shí)部的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．