Question

作為家長都希望自己的孩子能升上比較理想的高中，于是就催生了“名校熱”，這樣擇校的結(jié)果就導(dǎo)致了學(xué)生在路上耽誤的時(shí)間增加了．若某生由于種種原因，每天只能 6：15騎車從家出發(fā)到學(xué)校，途經(jīng)5個(gè)路口，這5個(gè)路口將家到學(xué)校分成了6個(gè)路段，每個(gè)路段的騎車時(shí)間是10分鐘（通過路口的時(shí)間忽略不計(jì)），假定他在每個(gè)路口遇見紅燈的概率均為

1

3

，且該生只在遇到紅燈或到達(dá)學(xué)校才停車．對每個(gè)路口遇見紅燈情況統(tǒng)計(jì)如下：

紅燈	1	2	3	4	5
等待時(shí)間（秒）	60	60	90	30	90

（1）設(shè)學(xué)校規(guī)定7：20后（含7：20）到校即為遲到，求這名學(xué)生遲到的概率；
（2）設(shè)X表示該學(xué)生上學(xué)途中遇到的紅燈數(shù)，求P（X≥2）的值；
（3）設(shè)Y表示該學(xué)生第一次停車時(shí)已經(jīng)通過路口數(shù)，求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知，當(dāng)1，2，3，5路口同時(shí)遇到紅燈時(shí)，該同學(xué)會遲到，由此能求出這名學(xué)生遲到的概率．
（2）由題意知X～B（5，

1

3

），P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1），由此能求出結(jié)果．
（3）由題意知Y=0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由題意知，當(dāng)1，2，3，5路口同時(shí)遇到紅燈時(shí)，
該同學(xué)會遲到，
∴這名學(xué)生遲到的概率：p=(

1

3

)4•(

1

3

+

2

3

)=

1

81

．
（2）由題意知X～B（5，

1

3

），
∴P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）
=1-

C

0 5

(

2

3

)5-

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4=

131

243

．
（3）由題意知Y=0，1，2，3，4，5，
P（Y=0）=

1

3

，P（Y=1）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
P（Y=2）=(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

，P（Y=3）=（

2

3

）³•

1

3

=

8

81

，
P（Y=4）=(

2

3

)4•

1

3

=

16

243

，P（Y=5）=(

2

3

)5=

32

243

，
∴隨機(jī)變量Y的分布列：

Y	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	8 81	16 243	32 243

∴EY=1×

2

9

+2×

4

27

+3×

8

81

+4×

16

243

+5×

32

243

=

422

243

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．