【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與軸,軸分別交于點(diǎn),,且,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn),分別作軸的垂線,垂足分別為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點(diǎn)平分線段?若存在,求出直線的方程,若不存在請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)答案見解析.
【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系可求出,再由點(diǎn) 在橢圓上,可求出 的值,從而求出橢圓方程; (2)假設(shè)存在,由直線方程可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),由已知條件可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去 ,得到關(guān)于 的一元二次方程,由韋達(dá)定理可求出 的表達(dá)式以及直線 的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,可求出的表達(dá)式,進(jìn)而求出的表達(dá)式, 由平分線段,求出的值,得出直線方程.
試題解析:(1)由題意知,即,,即,
∵在橢圓上,∴,
所以橢圓方程為.
(2)存在
設(shè),∵
∴,
∴①
∴,
聯(lián)立 ∴②
∴
∴
∴
若平分線段,則
即,, ∴
∵ 把①,②代入,得
所以直線的方程為或
點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.第一問求橢圓方程很容易,大部分學(xué)生能做對(duì); 在第二問中,假設(shè)存在, 當(dāng)點(diǎn)平分線段,點(diǎn)為的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出的值,得出直線方程.注意本題涉及的點(diǎn)線位置關(guān)系比較復(fù)雜,容易弄錯(cuò).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寧德市某汽車銷售中心為了了解市民購(gòu)買中檔轎車的意向,在市內(nèi)隨機(jī)抽取了100名市民為樣本進(jìn)行調(diào)查,他們?cè)率杖?單位:千元)的頻數(shù)分布及有意向購(gòu)買中檔轎車人數(shù)如下表:
月收入 | [3,4) | [4,5) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) |
頻數(shù) | 6 | 24 | 30 | 20 | 15 | 5 |
有意向購(gòu)買中檔轎車人數(shù) | 2 | 12 | 26 | 11 | 7 | 2 |
將月收入不低于6千元的人群稱為“中等收入族”,月收入低于6千元的人群稱為“非中等收入族”.
(Ⅰ)在樣本中從月收入在[3,4)的市民中隨機(jī)抽取3名,求至少有1名市民“有意向購(gòu)買中檔轎車”的概率.
(Ⅱ)根據(jù)已知條件完善下面的2×2列聯(lián)表,并判斷有多大的把握認(rèn)為有意向購(gòu)買中檔轎車與收入高低有關(guān)?
非中等收入族 | 中等收入族 | 總計(jì) | |||||
有意向購(gòu)買中檔轎車人數(shù) | 40 | ||||||
無意向購(gòu)買中檔轎車人數(shù) | 20 | ||||||
總計(jì) | 100 | ||||||
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | ||||
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | ||||
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過兩點(diǎn),且圓心在直線上,直線的方程為。
(1)求圓的方程;
(2)證明:直線與圓恒相交;
(3)求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在圖1所示的梯形中,,于點(diǎn),且.將梯形沿對(duì)折,使平面平面,如圖2所示,連接,取的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,試確定點(diǎn)的位置,并給予證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:
①若,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);
②若,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);
③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).
(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;
(Ⅱ)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“楊輝三角”又稱“賈憲三角”,是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算,而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中,記錄了賈憲三角形數(shù)表,并稱之為“開方作法本源”圖.下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)是 ( )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060………………20 16 12 8
16124……………………36 28 20
………………………
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018湖南(長(zhǎng)郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué))、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)(其中且為常數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.
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