【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當時,設,,且,證明:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】分析:(1)求得f(x)的導數(shù),討論a<0,a≥0,由導數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)方法一、構(gòu)造g(x)=f(x)+2x=3x﹣1﹣ex,求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、最值,再由條件和不等式的性質(zhì),即可得證;
方法二、結(jié)合條件f(x1)+f(x2)=﹣5,構(gòu)造g(x)=ex﹣3x,求得導數(shù)和最值,再由不等式的性質(zhì),即可得證.
詳解:(1)解:,
當時,,則在上單調(diào)遞增.
當時,令,得,則的單調(diào)遞增區(qū)間為.
令,得,則的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)證明:(法一)設 ,則.
由,得;由,得,
故.
從而.
∵,∴,
即.
∵,∴,∴,
從而.
(法二)∵,∴,
∴.
設,則.
由,得;由,得.
故.
∵,,
∴ ,
∵,∴.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系,將曲線上的每一個點的橫坐標保持不變,縱坐標縮短為原來的,得到曲線,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系, 的極坐標方程為.
(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)過原點且關于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于、和、,且點在第一象限,當四邊形的周長最大時,求直線的普通方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為調(diào)查期末考試中高一學生作弊情況,隨機抽取了200名高一學生進行調(diào)查,設計了兩個問題,問題1:你出生月份是奇數(shù)嗎?問題2:期末考試中你作弊了嗎?然后讓受調(diào)查的學生每人擲一次幣,出現(xiàn)“正面朝上”則回答問題1,出現(xiàn)“反面朝上”則回答問題2,答案只能填“是”或“否”不能棄權(quán).結(jié)果統(tǒng)計后得到了53個“是”的答案,則估計有百分之幾的學生作弊了?
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點與其短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,點在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點,與軸,軸分別交于點,,且,點是點關于軸的對稱點,的延長線交橢圓于點,過點,分別作軸的垂線,垂足分別為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點平分線段?若存在,求出直線的方程,若不存在請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐中,兩兩垂直,,平面平面,且與棱分別交于三點.
(1)過作直線,使得,,請寫出作法并加以證明;
(2)若α將三梭錐P﹣ABC分成體積之比為8:19的兩部分(其中,四面體P1A1B1C的體積更小),D為線段B1tC的中點,求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值.
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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行了分析研究,分別記錄了2016年12月1日至12月5日每天的晝夜溫差以及實驗室100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取兩組,用剩下的三組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的兩組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求選取的兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩天數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日和12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程.
(3)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,據(jù)此說明(2)中所得線性回歸方程是否可靠?并估計當溫差為9 ℃時,100顆種子中的發(fā)芽數(shù).
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: ,
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【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之,亦倍下袤,上袤從之,各以其廣乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其計算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘,將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為
A. B. C. 39 D.
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【題目】某籃球運動員每次在罰球線投籃投進的概率是0.8,且各次投籃的結(jié)果互不影響.
(1)假設這名運動員投籃3次,求恰有2次投進的概率(結(jié)果用分數(shù)表示);
(2)假設這名運動員投籃3次,每次投進得1分,未投進得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進,而另外一次未投進,則額外加1分;若3次全投進,則額外加3分,記為該籃球運動員投籃3次后的總分數(shù),求的分布列及數(shù)學期望(結(jié)果用分數(shù)表示).
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