Question

3．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]的值域?yàn)閇2m，2n]，那么就稱函數(shù)f（x）為“倍域函數(shù)”．若f（x）=ln（e^x+6x+t）是“倍域函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{3}{4}-6ln\frac{3}{2}，2-6ln2）$
• B． （2-6ln2，+∞）
• C． $（-\frac{3}{4}-6ln\frac{3}{2}，6ln2-2）$
• D． （-∞，6ln2-2）

Answer 1

分析 由“倍域函數(shù)”定義知$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m，\;\;\\ f（n）=2n，\;\;\end{array}\right.$即方程f（x）=2x有兩個(gè)不同實(shí)根，即方程e^x+6x+t=e^2x有兩個(gè)不同實(shí)根．設(shè)函數(shù)g（x）=e^2x-e^x-6x-t（x∈R），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得方程g（x）=0有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：由“域倍函數(shù)”定義知$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m，\;\;\\ f（n）=2n，\;\;\end{array}\right.$即方程f（x）=2x有兩個(gè)不同實(shí)根，即方程e^x+6x+t=e^2x有兩個(gè)不同實(shí)根．
設(shè)函數(shù)g（x）=e^2x-e^x-6x-t（x∈R），∴g'（x）=2e^2x-e^x-6=（2e^x+3）（e^x-2）．
令g'（x）=0，解得x=ln2．
當(dāng)x＜ln2時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在（-∞，ln2）上是減函數(shù)；當(dāng)x＞ln2時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（ln2，+∞）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，g（x）_min=4-2-6ln2-t，∴x∈R，g（x）∈[2-6ln2-t，+∞），
∴方程g（x）=0有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件為2-6ln2-t＜0，所以t＞2-6ln2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．