Question

13．已知雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則該雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件下求出a=2，然后討論雙曲線的焦點(diǎn)位置，結(jié)合雙曲線的漸近線方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，實(shí)軸長(zhǎng)為4，
∴2a=4，則a=2，
∴當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
此時(shí)$\frac{a}$=$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$，解得b=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
此時(shí)$\frac{a}$=$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$，解得b=4，
即雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．同時(shí)要討論雙曲線的焦點(diǎn)位置．