已知
a
,
b
是非零向量,
a
b
的夾角為θ,當(dāng)
a
+t
b
(t∈R)的模取得最小值時.
(1)求t的值;
(2)若
a
b
同向共線,求證:
b
⊥(
a
+t
b
)
分析:(1)由兩個向量的夾角,表示出兩個向量的模長然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求取得最小值時的t
(2)本題要證明兩個向量垂直,可通過向量的數(shù)量積為零來證明,求兩個向量數(shù)量積,根據(jù)上一問做出的結(jié)果,代入數(shù)量積的式子,即可證明
解答:(1)解:∵|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2

=
a
2
+2t
a
b
+t2
b
2

=
a
2
+2t|
a
||
b
|cosθ+
b
2
t2
=
b
2
(t+
|
a
|
|
b
|
cosθ)2+|
a
|sin2θ

根據(jù)二次函數(shù)的知識可得,當(dāng)t=-
|
a
|
|
b
|
cosθ
=-
|
a
||
b
|
|
b
|2
cosθ
=
a
b
|
b
|2
×(-1)時,|
a
+t
b
|取得最小值.
(2)證明:
b
•(
a
+t
b
)
=
b
•(
a
-
a
b
|
b
|2
b
)
=
b
a
-
a
b
|
b
|2
b
2
=
a
b
-
a
b
=0
b
⊥(
a
+t
b
)
點評:在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上,逐步把握數(shù)量積的運算律,引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點,以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).?
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
是非零向量,滿足
a
b
,
b
a
(λ∈R),則λ=( 。
A、-1B、±1C、0D、0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
b
是非零向量,且
a
b
夾角為
π
3
,則向量
p
=
a
a
+
b
b
的模為
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
是非零向量,且滿足(
a
-2
b
)⊥
a
,(
b
-2
a
)⊥
b
,則
a
b
的夾角是
60
60
°.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
是非零向量,t為實數(shù),設(shè)
u
=
a
+
tb

(1)當(dāng)|
u
|取最小值時,求實數(shù)t的值;
(2)當(dāng)|
u
|取最小值時,求證
b
⊥(
a
+
b
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
、
b
是非零向量,若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|,則
a
b
應(yīng)滿足條件
 

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