Question

4．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分別為邊BC，CD上的兩個動點且MN=$\sqrt{2}$，則$\overline{AM}$•$\overline{AN}$的取值范圍為（　�。�

• A． [4，8-2$\sqrt{2}$]
• B． [4-2$\sqrt{2}$，8]
• C． [4，8+2$\sqrt{2}$]
• D． [4-2$\sqrt{2}$，8-2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)M（2，y），N（x，2），$（2-\sqrt{2}≤x≤2，2-\sqrt{2}≤y≤2）$．由于MN=$\sqrt{2}$，可得（x-2）²+（y-2）²=2．則$\overline{AM}$•$\overline{AN}$=2x+2y=t，數(shù)形結(jié)合即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)M（2，y），N（x，2），$（2-\sqrt{2}≤x≤2，2-\sqrt{2}≤y≤2）$．
∵MN=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，化為（x-2）²+（y-2）²=2．
則$\overline{AM}$•$\overline{AN}$=2x+2y=t，
由$\frac{|4+4-t|}{\sqrt{8}}$=$\sqrt{2}$，解得t=4或12（舍去）．
把x=2$-\sqrt{2}$，y=2代入可得t=8-2$\sqrt{2}$．
綜上可得：t∈$[4，8-2\sqrt{2}]$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、兩點之間的距離公式、直線與圓相切相交性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．