Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+n+2
（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得2a_n+1-2n-2=a_n-n，由此能證明數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
（2）求出${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，從而b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+n+2，
∴2a_n+1-2n-2=a_n-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}$，
∵${a}_{1}-1=\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
解：（2）∵數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n-n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+n，①
2T_n=2²+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+2n，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹-n
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-n-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．