Question

19．如圖，M為曲線y=-$\frac{4}{x}$上的一點．過點M作x軸、y軸的垂線．垂足分別為E、F．分別交直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m于點D、C兩點．若直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m與y軸交于點A．與x軸相交于點B；
（1）若四邊形MEOF為正方形，求M的坐標；
（2）求AD•BC的值．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形MEOF為正方形，設(shè)出M的坐標，代入求解即可．
（2）先設(shè)M點的坐標為（a，），則把y=代入直線y=-x+m即可求出C點的縱坐標，同理可用a表示出D點坐標，再根據(jù)直線y=-x+m的解析式可用m表示出A、B兩點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出AD•BC的值．

解答 解：（1）因為四邊形MEOF為正方形，
設(shè)M（-a，a），a＞0，代入曲線y=-$\frac{4}{x}$，
可得a=$\frac{4}{a}$，解得a=2，M的坐標（-2，2）．
（2）設(shè)M點的坐標為（a，$-\frac{4}{a}$），a＜0
∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m與y軸交于點A，與x軸相交于點B，
∴A點坐標為（0，m），B點坐標為（-$\sqrt{3}$m，0），
∵C和M點的縱坐標相同為$-\frac{4}{a}$，
∴點C的橫坐標為-$\sqrt{3}m-\frac{4\sqrt{3}}{a}$，
∴點C的坐標為（-$\sqrt{3}m-\frac{4\sqrt{3}}{a}$，$-\frac{4}{a}$），
同理可得D點的坐標為（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}a+m$），
∴AD=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{\sqrt{3}}{3}a）}^{2}}$=$-\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，BC=$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{3}}{a}）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$-\frac{8}{a}$，
∴AD•BC=$-\frac{2\sqrt{3}a}{3}×（-\frac{8}{a}）$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)很重要，先設(shè)出M點坐標，用M點的坐標表示出C、D兩點的坐標是解答此題的關(guān)鍵．