Question

1．已知函數(shù)f（x）=xe^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若存在整數(shù)t使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解，則滿足條件的所有整數(shù)t的取值集合為{-3，1}．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，求導(dǎo)函數(shù)再確定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，再由特殊的函數(shù)值確定方程f（x）=x+2有且只有兩個實數(shù)根的區(qū)間，故可得t的值．

解答 解：方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等價于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，令h（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，
因為h′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，
所以整數(shù)t的所有值為{-3，1}．
故答案為：{-3，1}．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及函數(shù)零點的問題，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)方法．