Question

5．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，則此雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，可得b=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，再由a，b，c的關系以及離心率公式計算即可得到．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，可得$\frac{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
即b=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，c=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎題．