Question

設(shè)M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…t-1，t∈N^*），并記M（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂．對(duì)于給定的x₁=（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，構(gòu)造無(wú)窮數(shù)列{x_h}如下：x₂=（li₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（li₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂，x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂
（1）若x₁=27，則x₄=

 

 （用數(shù)字作答）；
（2）給定一個(gè)正整數(shù)m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^m+1，則滿(mǎn)足x_n=x₁（n∈N^*），且n≠1）的n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：新定義,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先將x₁=27分成2⁴+2³+2¹+1從而得到1i_t-1i_t-2…i₁i的值，然后根據(jù)x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1則x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，從而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，依此類(lèi)推x_2m+3=x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，從而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵x₁=27=2⁴+2³+2¹+1，
∴x₁=2⁴+1×2³+0×2²+1×2+1，這里i₀=1，i₁=1，i₂=0，i₃=1；
∴x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1i_t-2…i₄i₃）₂=2^t+i₂×2^t-1+i₁×2^t-2+i_t-1×2^t-3+…+i₄×2+i₃=2⁴+0×2³+1×2²+1×2+1=23；
（2）∵x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，
∴x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，
當(dāng)i跑到最后時(shí)移動(dòng)了2m+2次，此時(shí)x_2m+3=x₁，
滿(mǎn)足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值為2m+3，
故答案為：23；2m+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用，著重考查二進(jìn)制的知識(shí)應(yīng)用，解題時(shí)，關(guān)鍵是弄清題意，根據(jù)新的定義求解，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，細(xì)心作答，屬于難題．