Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）
（1）設(shè)a=-1，求f（x）的極值；
（2）在（1）的條件下，若g（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²[f′（x）+m]在（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍；
（3）求f（x）=（x-3）e^x的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，最后由極值定義求得函數(shù)極值．
（2）構(gòu)造新函數(shù)g（x），把在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，即函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，3）不能恒為正或恒為負(fù)，從而轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值問題，利用導(dǎo)數(shù)列出不等式，最后解不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式f′（x）＞0即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），${f^'}（x）=\frac{-1}{x}+2$，…（2分）
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）    …（4分），
∴f（x）的極小值是$f（\frac{1}{2}）=-ln\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}+3=ln2+4$．…（6分）
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}（-\frac{1}{x}+2+m）$，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
且g′（0）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（1）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$ …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2m＜0}\\{20+6m＞0}\end{array}\right.$，
即：-$\frac{10}{3}＜m＜-2$．
故m的取值范圍$（-\frac{10}{3}，-2）$…（12分）
（3）∵f（x）=（x-3）e^x，
∴f′（x）=（x-3）′e^x+（x-3）（e^x）′=（x-2）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞2．
即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性、極值，以及導(dǎo)數(shù)在其中的應(yīng)用，由不等式恒成立問題與最值問題求解參數(shù)的取值范圍的方法．