Question

若橢圓E₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1和橢圓E₂：

x2

a22

+

y2

b22

滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m（m＞0），則稱這兩個(gè)橢圓相似，m稱其為相似比．
（Ⅰ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

2

，

3

2

），且與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l分別與（Ⅰ）中的橢圓C₁，C₂交于A、B兩點(diǎn)，求|OA|•|OB|的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線l₁：y=kx與（Ⅰ）中橢圓C₂交于M、N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），且直線l₁與直線l₂：x=t（t＞0）交于點(diǎn)D，過(guò)D作DG∥MF（F為橢圓C₂的右焦點(diǎn)）且交x軸于點(diǎn)G，若直線MG與橢圓C₂有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，結(jié)合題目條件可求得a²=2，b²=1；
（Ⅱ）對(duì)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l的斜率分存在與不存在進(jìn)行討論，l的斜率不存在時(shí)，|OA|•|OB|=

2

2

，當(dāng)l的斜率存在時(shí)，可求得|OA|•|OB|=

2

2

（1+

1

1+2k2

），從而可求得|OA|•|OB|的取值范圍；
（Ⅲ）分別求出k_MG、k′，利用k′=k_MG，即可求t的值．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1．
則有

1 2 a2 + 3 4 b2 =1 a 1 = b 2 2

解得a²=2，b²=1．
∴所求方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）解：當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)，A（0，±

2

2

），B（0，±1），∴|OA||OB|=

2

2

當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，
則y=kx代入

x2

2

+y2=1，可得x²=

1

1+2k2

，y²=

k2

1+2k2

，
∴|OA|=

1+k2 1+2k2

，|OB|=

2+2k2 1+2k2

，
∴|OA||OB|=

1+k2 1+2k2

•

2+2k2 1+2k2

=

2

2

（1+

1

1+2k2

），
∴

2

2

＜|OA||OB|≤

2

，
綜上，

2

2

≤|OA||OB|≤

2

；
（Ⅲ）解：設(shè)M（x₁，y₁），G（x₀，0），直線MG的斜率為k′，則直線MG：y-y₁=k′（x-x₁），
與橢圓方程聯(lián)立，可得（2k′²+1）x²+4（y₁-k′x₁）k′x+2（y₁-k′x₁）²-2=0，
∵直線MG與橢圓C₂有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=0，
∴（2-x₁²）k′²+2k′x₁y₁+1-y₁²=0（*），
∵x₁²+2y₁²=2，
∴（*）化簡(jiǎn)可得k′=-

x1

2y1

，
∵DG∥MF，
∴

OM

OD

=

OF

OG

，∴

x1

t

=

1

x0

，
∴x₀=

t

x1

，
∴G（

t

x1

，0），
∴k_MG=

x1y1

x12-t

，
∵k′=k_MG，
∴

x1y1

x12-t

=-

x1

2y1

，
∴t=x₁²+2y₁²=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，著重考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，消參法求點(diǎn)的軌跡，難點(diǎn)在于直線與橢圓的綜合分析與應(yīng)用，思維深刻，運(yùn)算復(fù)雜，難度大，屬于難題．