Question

如圖所示的幾何體是由一個棱長為2的正四面體和一個半圓錐組成，點(diǎn)O為半圓的圓心，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面ADE；
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)，以及直線與平面垂直的判定和性質(zhì)定理，即可得證；
（2）先求正四面體D-ABC的體積，作DH⊥平面ABC，∴V_D-ABC=

1

3

S_△ABC•DH，再求半圓錐的體積，其高為
OD，底面半徑為1，運(yùn)用圓錐的體積公式即可，最后將兩體積相加即可．

解答： 解：（1）連接OA，OD，OE，
∵O為半圓的圓心，E為圓弧BC的中點(diǎn)，∴BC⊥OE，
∵BD=CD，OB=OC，∴BC⊥OD，
∵OE，OD?平面ODE，OD∩OE=O，
∴BC⊥平面ODE，DE?平面ODE，
∴BC⊥DE，同理可得BC⊥AD，
∵AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，
∴BC⊥平面ADE；
（2）由于三棱錐D-ABC為棱長為2的正四面體，
作DH⊥平面ABC，則H為△ABC的重心，∴AH=

2

3

AO=

2

3

AB2-OB2

=

2 3

3

，
在直角△DAH中，DH=

DA2-AH2

=

4- 4 3

=

2 6

3

，
∵S_△ABC=

3

4

×4=

3

，∴V_D-ABC=

1

3

×

3

×

2 6

3

=

2 2

3

．
∵幾何體D-BEC為半圓錐，且其高為OD=

DB2-OB2

=

3

，
底面半徑為1，∴V_半圓錐=

1

2

×

1

3

π×

3

=

3 π

6

，
∵幾何體是由一個棱長為2的正四面體和一個半圓錐組成，
∴該幾何體的體積為V=

2 2

3

+

3 π

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查三棱錐的體積和圓錐的體積的運(yùn)算，屬于中檔題．