Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，f（0）=f（1），且對(duì)任意不同的x₁，x₂都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，求證：|f（x₂）-f（x₁）|≤

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式

分析：根據(jù)題意，先證明f（x）在定義域上的極大值和極小值差的絕對(duì)值小于

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，再證明|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于

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解答： 證明：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，對(duì)任意不同的x₁，x₂，
都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|成立，
不妨設(shè)x=m時(shí)，f（m）為最大值；x=n時(shí)，f（n）為最小值，（其中0＜m＜1，0＜n＜1）
當(dāng)m＜n時(shí)，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（m）-f（0）＜m①，
f（m）-f（n）＜n-m②，
f（1）-f（n）＜1-n③，
①+②+③得：2f（m）-2f（n）+f（1）-f（0）＜1；
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

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；
當(dāng)n＜m時(shí)，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（0）-f（n）＜n④，
f（m）-f（n）＜m-n⑤，
f（m）-f（1）＜1-m⑥，
④+⑤+⑥得：2f（m）-2f（n）+f（0）-f（1）＜1，
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

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；
對(duì)于f（0）和f（1）為極大值或極小值時(shí)，不妨設(shè)x=m時(shí)，f（m）為最小值或極大值，
同理可得，|f（m）-f（1）|＜

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；
∴f（x）的極大值和極小值差的絕對(duì)值小于

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，
又|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于極大值和極小值差的絕對(duì)值；
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式|A-B|≤|A|+|B|的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．