Question

20．設(shè)動點P（x，y）（x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)D（x₀，2）是曲線C上一點，與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l₁，l₂過點D，且它們的傾斜角互補(bǔ)．若直線l₁，l₂與曲線C的另一交點分別是M，N，證明直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，動點P（x，y）（x≥0）到定點F（1，0）的距離等于點P（x，y）到直線x=-1的距離，由拋物線的定義知點P的軌跡方程．
（Ⅱ）由D（x₀，2）在曲線C上，得4=4x₀⇒x₀=1，從而D（1，2），設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理，通過直線l₁，l₂過點D，且它們的傾斜角互補(bǔ)建立關(guān)系，證明直線MN的斜率為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，動點P（x，y）（x≥0）到定點F（1，0）的距離等于點P（x，y）到直線x=-1的距離，
由拋物線的定義知點P的軌跡方程是以F（1，0）為焦點，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由D（x₀，2）在曲線C上，得4=4x₀⇒x₀=1，從而D（1，2）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線l₁：y=k（x-1）+2，
則l₂：y=-k（x-1）+2，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+2}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.⇒{k^2}{x^2}-（2{k^2}-4k+4）x+{（k-2）^2}=0$，
∴${x_1}×1=\frac{{{{（k-2）}^2}}}{k^2}=\frac{{{k^2}-4k+4}}{k^2}$
同理${x_2}=\frac{{{k^2}+4k+4}}{k^2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+8}}{k^2}，{x_1}-{x_2}=\frac{-8}{k}$，
∴${y_1}-{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2k=\frac{8}{k}$
∴${k_{MN}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{\frac{8}{k}}}{{-\frac{8}{k}}}=-1$
直線MN的斜率為定值-1．

點評 本題考查了拋物線的定義和直線與拋物線的位置關(guān)系的運(yùn)用能力和計算能力．屬于中檔題．