Question

已知A，B兩點(diǎn)分別在射線CM，CN（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動，∠MCN=

2

3

π，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若c=

3

，∠ABC=θ，
（1）試用θ表示△ABC的邊AC、BC的長；
（2）試用θ表示△ABC的周長f（θ），并求周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）△ABC中由正弦定理知

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

，即可用θ表示△ABC的邊AC、BC的長；
（2）f（θ）=2sin（θ+

π

3

）+

3

，根據(jù)θ∈（0，

π

3

），即可求周長的最大值．

解答： 解：（1）∵△ABC中由正弦定理知

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

∴AC=2sinθ，BC=2sin（

π

3

-θ）                 …（6分）
（2）f（θ）=2sinθ+2sin（

π

3

-θ）+

3

=sinθ+

3

cosθ+

3

，
即f（θ）=2sin（θ+

π

3

）+

3

 …（9分）
∵θ∈（0，

π

3

），
∴當(dāng)θ=

π

6

時，f（θ）取得最大值2+

3

 …（12分）

點(diǎn)評：本題考查正弦定理，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．