Question

函數(shù)f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx+3cos²ωx的定義域?yàn)閇0，

π

2

]，
（1）當(dāng)ω=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若ω＞0，定義域?yàn)閇0，

π

2

]的函數(shù)f（x）的最大值為M，如果關(guān)于x的方程f（x）=M在區(qū)間[0，

π

2

]有且僅有一個(gè)解，求ω的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用ω=1時(shí)，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，集合定義域，求出相位的范圍．然后求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）利用ω＞0，定義域?yàn)閇0，

π

2

]的函數(shù)f（x）的最大值為M，結(jié)合（1）求出M，關(guān)于x的方程f（x）=M在區(qū)間[0，

π

2

]有且僅有一個(gè)解，利用x=

π

2

時(shí)，函數(shù)值小于x＞0后的第二個(gè)最大值，即可求ω的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx+3cos²ωx
=2+sin2ωx+cos2ωx
=2+

2

sin（2ωx+

π

4

）
∵定義域?yàn)閇0，

π

2

]，ω=1
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
故由函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，f（x）_min=2+

2

sin

5π

4

=1．
（2）由（1）知，定義域?yàn)閇0，

π

2

]的函數(shù)f（x）的最大值為M=2+

2

根據(jù)題意有2+

2

sin（2ωx+

π

4

）=2+

2

，
關(guān)于x的方程f（x）=M在區(qū)間[0，

π

2

]有且僅有一個(gè)解，
就是sin（2ωx+

π

4

）=1在區(qū)間[0，

π

2

]有且僅有一個(gè)解，
∵ω＞0，∴x=

π

2

時(shí)，2ω×

π

2

+

π

4

＜

5π

2

，解得ω＜

9

4

，
綜上ω∈（0，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．