Question

7．在數(shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，且a₁=2，則a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，由此可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為公差的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+1$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$．
又$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+1×（n-1）=n-\frac{1}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
故答案為：$\frac{2}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬中檔題．