Question

16．已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，S₇=7，S₁₅=75，T_n為數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n項和，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的求和公式和題意可得首項和公差的方程組，解方程組可得數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的通項，進而可可得數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前4項為負數(shù)，第5項為0，從第6項開始為正數(shù)，可得當(dāng)n=4或n=5時T_n取最小值，代值可得答案．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=7，S₁₅=15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=75，
聯(lián)立解得a₁=-2，d=1，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$（n-5），
∴等差數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前4項為負數(shù)，第5項為0，從第6項開始為正數(shù)，
∴當(dāng)n=4或n=5時T_n取最小值，
∴最小值為T₄=$\frac{1}{2}$（1+2+3+4-5×4）=-5

點評 本題考查等差數(shù)列的求和公式，得出數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$項的正負是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．