Question

7．一艘船在航行過程中發(fā)現(xiàn)前方的河道上有一座圓拱橋．在正常水位時(shí)，拱橋最高點(diǎn)距水面8m，拱橋內(nèi)水面寬32m，船只在水面以上部分高6.5m，船頂部寬8m，故通行無(wú)阻，如圖所示．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求正常水位時(shí)圓弧所在的圓的方程；
（2）近日水位暴漲了2m，船已經(jīng)不能通過橋洞了．船員必須加重船載，降低船身在水面以上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？（精確到0.1m，$\sqrt{6}≈2.45$）

Answer 1

分析 （1）在正常水位時(shí)，設(shè)水面與橋橫截面的交線為x軸，過拱橋最高點(diǎn)且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系，利用|CD|=|CB|，確定圓的方程；
（2）令x=4時(shí)，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時(shí)的水面約7.60m，即可求得通過橋洞，船身至少應(yīng)該降低多少．

解答 解：（1）在正常水位時(shí)，設(shè)水面與橋橫截面的交線為x軸，
過拱橋最高點(diǎn)且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-16，0），（16，0），（0，8）．
又圓心C在y軸上，故可設(shè)C（0，b）．…（3分）
因?yàn)閨CD|=|CB|，所以$8-b=\sqrt{{{16}^2}+{b^2}}$，解得b=-12．…（6分）
所以圓拱所在圓的方程為：x²+（y+12）²=（8+12）²=20²=400…（8分）
（2）當(dāng)x=4時(shí)，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時(shí)的水面約7.60m，…（10分）
距漲水后的水面約5.6m，因?yàn)榇��?.5m，頂寬8m，
所以船身至少降低6.5-5.6=0.9（m）以上，船才能順利通過橋洞．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程的運(yùn)用，正確建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵．