Question

19．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD的中點．
（1）求證：B₁E⊥AD₁
（2）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA1}$的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B₁E⊥AD₁．
（2）求出平面A₁B₁E的一個法向量和平面AB₁E的法向量，由二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，利用向量法能求出AB的長

解答 證明：（1）以A為原點，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA1}$的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系．…（1分）
設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（$\frac{a}{2}$，1，0），B₁（a，0，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（a，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{a}{2}$，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{a}{2}$，1，-1）…．（2分）
∵$\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}E}$=-$\frac{a}{2}$×0+1×1+（-1）×1=0，…．（3分）
∴B₁E⊥AD₁．…．（4分）
解：（2）連結(jié)A₁D，B₁C，由長方體ABCDA₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．…．（5分）
又由（1）知B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁，
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，1，1）是平面A₁B₁E的一個法向量，…．（6分）
設(shè)平面AB₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=ax+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{a}{2}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{a}{2}$，-a），
∵二面角AB₁EA₁的大小為30°，
∴|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=cos 30°，即$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{2}•\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（10分）
解得a=2，即AB的長為2．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．