Question

6．函數(shù)f（x）=-$\frac{A}{ω}$cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值等于$\frac{8}{π}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f′（x）=Asin（ωx+φ）的圖象，由由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，有特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性，求得要求式子的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=-$\frac{A}{ω}$cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=Asin（ωx+φ）的圖象，
可得A=2，把原點（0，0）代入，可得sinφ=0，故可取φ=0．
再根據(jù)$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=2，求得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=-$\frac{8}{π}$cos（$\frac{π}{4}$x）．
再根據(jù)函數(shù)的周期 T=8，又f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）]-f（2016）
=252×0-f（2016）=0-f（8）=$\frac{8}{π}$，
故答案為：$\frac{8}{π}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，有特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，余弦函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．