Question

15．已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處切線的斜率k=-$\frac{1}{2}$，求實數a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若xf′（x）≥x²+x+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）=-$\frac{1}{2}$，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷導函數的符號，從而求出函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）分離參數得到a≥$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，求出其最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+a+1}{x}$，f′（1）=$\frac{3a+1}{1}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．-----------（3分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+a+1}{x}$，
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調增加；---------（5分）
當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調減少；-----（6分）
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，
當x∈（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$）時，f′（x）＞0；單調增，
x∈（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）時，f′（x）＜0，單調減-----------（10分）
（Ⅲ）xf′（x）≥x²+x+1，得：a≥$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$-------（11分）
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，則g′（x）=$\frac{-{2x}^{2}+2x+1}{{（{2x}^{2}+1）}^{2}}$，
當0＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$時，g（x）單調遞增，當x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$時，g（x）單調遞減，
所以，g（x）_max=g$（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，----------------（13分）
故a≥$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$-----------------（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．