【題目】設函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=﹣12,求f(x)在[1,3]的最小值;
(2)如果f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】(1)4﹣12ln3(2)
【解析】
(1)當b=﹣12時令由得x=2則可判斷出當x∈[1,2)時,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(2,3]時,f(x)單調(diào)遞增故f(x)在[1,3]的最小值在x=2時取得;
(2)要使f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值即f(x)在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點即使在(﹣1,+∞)有兩個不等實根即2x2+2x+b=0在(﹣1,+∞)有兩個不等實根這可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得解之求b的范圍.
解:(1)由題意知,f(x)的定義域為(1,+∞)
b=﹣12時,由,得x=2(x=﹣3舍去),
當x∈[1,2)時f′(x)<0,當x∈(2,3]時,f′(x)>0,
所以當x∈[1,2)時,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(2,3]時,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)min=f(2)=4﹣12ln3.
(2)由題意在(﹣1,+∞)有兩個不等實根,
即2x2+2x+b=0在(﹣1,+∞)有兩個不等實根,
設g(x)=2x2+2x+b,則,解之得
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【題目】已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當時,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若橢圓上點與點關于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.
(。┣面積最大值;
(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.
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【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,為的中點,,四邊形為矩形,線段交于點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij (i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合.對于,記ri (A)為A的第i行各數(shù)之積,cj (A)為A的第j列各數(shù)之積.令
a11 | a12 | … | a1n |
a21 | a22 | a2n | |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | ann |
(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;
(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.
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【題目】已知圓經(jīng)過點,,且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)過點的直線截圓所得弦長為,求直線的方程.
(3)若直線與圓相切,且與,軸的正半軸分別相交于,兩點,求的面積最小時直線的方程.
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【題目】某市調(diào)硏機構對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:
月收入(單位:百元) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 5 | 5 | ||
頻率 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | ||
贊成人數(shù) | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.
(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學期望.
(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結果.
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【題目】已知是異面直線,是空間一定點,下列命題中正確的個數(shù)為( )
①過點總可以作一條直線與都垂直;
②過點總可以作一個平面與都平行;
③過點總可以作一條直線與之一垂直于與另一條平行;
④過點總可以作一個平面與 之一垂直于與另一條平行;
⑤過點總可以作一個平面與直線同時垂直
A.B.C.D.
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