Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{6}$（${a_n}^2$+3a_n-4），則S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}n$．

Answer 1

分析 先跟怒遞推公式求出a₁，再利用相減法求出{a_n}是以4為首項，3為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式即可求出．

解答 解：當(dāng)n=1時，$6{S_1}={a_1}^2+3{a_1}-4$，
即${a_1}^2-3{a_1}-4=0$，得a₁=4或a₁=-1（舍）．
由題意得：$6{S_{n+1}}={a_{n+1}}^2+3{a_{n+1}}-4$…①$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}-4$…②
①-②得：$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=3，
∴{a_n}是以4為首項，3為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1．
∴${S_n}=\frac{n（4+3n+1）}{2}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{5}{2}n$，
故答案為：$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}n$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．