Question

14．設a，b，n∈N^*，且a≠b，對于二項式$（\sqrt{a}-\sqrt）^{n}$
（1）當n=3，4時，分別將該二項式表示為$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式；
（2）求證：存在p，q∈N^*，使得等式$（\sqrt{a}-\sqrt）^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$與（a-b）ⁿ=p-q同時成立．

Answer 1

分析 （1）當n=3，4時，利用二項式定理把二項式$（\sqrt{a}-\sqrt）^{n}$表示為$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式．
（2）分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)兩種情況，分別把${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$ 展開，綜合可得結論；同理可得 ${（\sqrt{a}+\sqrt）}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$，從而證得p-q=（a-b）ⁿ．

解答 （1）當n=3時，${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{3}$=（a+3b）$\sqrt{a}$-（b+3a）$\sqrt$=$\sqrt{a{•（a+3b）}^{2}}$-$\sqrt{b{•（b+3a）}^{2}}$；
當n=4時，${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{4}$=a²-4a$\sqrt{ab}$+6ab-4b$\sqrt{ab}$+b²=（a²+6ab+b²）-4（a+b）$\sqrt{ab}$=$\sqrt{{{（a}^{2}+6ab{+b}^{2}）}^{2}}$-$\sqrt{16ab{•（a+b）}^{2}}$，
顯然是$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式．
（2）證明：由二項式定理得${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=$\sum_{i=0}^{n}$ （-1）ⁱ•${C}_{n}^{i}$•${（\sqrt{n}）}^{n-i}$•${（\sqrt）}^{i}$，
若n為奇數(shù)，則${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{a}）}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{a}）}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${（\sqrt）}^{n-1}$]-[${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{a}）}^{n-1}$•$\sqrt$+${C}_{n}^{3}$•${（\sqrt{a}）}^{n-3}$ ${（\sqrt）}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n}$•${（\sqrt）}^{n}$]，
分析各項指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為μ$\sqrt{a}$-λ$\sqrt$的形式，其中μ，λ∈N^*，
也即${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=$\sqrt{{μ}^{2}a}$-$\sqrt{{λ}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，其中 p、q∈N^*．
若n為偶數(shù)，則${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{a}）}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{a}）}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n}$•${（\sqrt）}^{n}$]-[${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{a}）}^{n-1}$•$\sqrt$+${C}_{n}^{3}$•${（\sqrt{a}）}^{n-3}$ ${（\sqrt）}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${（\sqrt）}^{n-1}$]，
類似地，可將上式表示為μ′$\sqrt{a}$-λ′$\sqrt$的形式，其中μ′，λ′∈N^*，
也即${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=$\sqrt{{μ′}^{2}a}$-$\sqrt{{λ′}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，其中 p、q∈N^*．
所以存在p，q∈N^*，使得等式${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，
同理可得${（\sqrt{a}+\sqrt）}^{n}$可以表示為 ${（\sqrt{a}+\sqrt）}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$，
從而有p-q=（$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$）（$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$）=${（\sqrt{a}+\sqrt）}^{n}$•${（\sqrt{a}-\sqrt）}^{n}$=（a-b）ⁿ，
綜上可知結論成立．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．