Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右頂點(diǎn)為A，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，且∠PAQ=60°，OQ=3OP，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)椤螾AQ=60°且OQ=3OP，
所以△QAP為等邊三角形，
設(shè)AQ=2R，則OP=R，
漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），取PQ的中點(diǎn)M，則AM=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（3R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•3R•2R}$=$\frac{1}{2}$，所以7R²=a²②
①②結(jié)合c²=a²+b²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查余弦定理、勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．