Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對任意 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng) 時，遞增區(qū)間為；當(dāng)時，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進行分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用進行適度放縮，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，找到對應(yīng)的參數(shù)范圍即可.

（1）由題意，得．

①當(dāng) 時，，在上為增函數(shù)；

②當(dāng) 時，

當(dāng) 時，， 在上為減函數(shù)，

當(dāng) 時，， 在 上為增函數(shù)．

綜上所述，當(dāng) 時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）由不等式 ，對恒成立，

即，對 恒成立．

構(gòu)造函數(shù)，

則．

下面證明：，

令，則

當(dāng)，單調(diào)遞減；

當(dāng)，單調(diào)遞增；

故，即證，

所以

，

①當(dāng)時，

在上恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，

即，對恒成立．

②當(dāng) 時，因為，

所以，即 ，在成立．

故當(dāng) 時，

，

因為時，，

知 在上為減函數(shù)，，

即在 上，不存在使得不等式對任意 恒成立．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．