Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：存在正實(shí)數(shù)λ，使得|$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$|≤λ恒成立．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，f′（1）=1+2a=3，從而解得；
（2）f（x）=lnx+x²+1的定義域?yàn)椋?，+∞），令g（x）=$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}+1}$，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，f′（1）=1+2a=3，
解得，a=1；
（2）證明：f（x）=lnx+x²+1的定義域?yàn)椋?，+∞），
故令g（x）=$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}+1}$，
g′（x）=$\frac{-1（{x}^{2}+1）-（1-x）2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{（x-1+\sqrt{2}）（x-1-\sqrt{2}）}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
故當(dāng)x∈（0，1+$\sqrt{2}$）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1+$\sqrt{2}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
故g（x）在（0，1+$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
而g（1+$\sqrt{2}$）=-$\frac{1}{2\sqrt{2}+2}$，$\underset{lim}{x→0}$g（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-x}{{x}^{2}+1}$=1，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{1-x}{{x}^{2}+1}$=0，
故|$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$|≤1恒成立；
故當(dāng)λ≥1時(shí)，|$\frac{1-x}{f（x）-lnx}$|≤λ恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造法的應(yīng)用．