Question

給出下列命題：
①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a≤

1

4

”的逆否命題是真命題；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
④冪函數(shù)y=x^a（a∈R）的圖象恒過定點(diǎn)（0，0）
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接由原命題的真假判斷逆否命題的真假說明①正確；
利用充分必要條件的證明說明②正確；
由兩函數(shù)y=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)說明③錯(cuò)誤；
舉特例說明④錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于①，若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則1-4a≥0，即a≤

1

4

，
∴命題“若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a≤

1

4

”是真命題，則其逆否命題是真命題，命題①正確；
對(duì)于②，對(duì)于①，A＞B，則邊a＞邊b，
根據(jù)正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，則sinA＞sinB；
由sinA＞sinB，根據(jù)正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，則邊a＞邊b，則有A＞B．
∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件．命題②正確；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)a=0時(shí)，冪函數(shù)y=x⁰不過（0，0），命題④錯(cuò)誤．
∴真命題的個(gè)數(shù)是2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分必要條件的證明方法，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，是中檔題．