【題目】數(shù)列{an}中,a1=1,Sn表示前n項(xiàng)和,且Sn , Sn+1 , 2S1成等差數(shù)列.
(1)計(jì)算S1 , S2 , S3的值;
(2)根據(jù)以上結(jié)果猜測(cè)Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【答案】
(1)解:S1=a1=1,由已知有2S2=S1+2S2,得S2= ,
又2S3=S2+2S2,得S3=
(2)解:由以上結(jié)果猜測(cè):Sn=
② 當(dāng)n=1時(shí),S1= =1,猜想成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,則有Sk=
當(dāng)n=k+1時(shí),∵2Sk+1=Sk+2S1,
∴Sk+1= +2= ,
∴S= ,
∴n=k+1時(shí)猜想成立,
故由①和②,可知猜想成立
【解析】(1)Sn , Sn+1 , 2S1成等差數(shù)列,得到2Sn+1=Sn+Sn+1 , 可求S1 , S2 , S3的值;(2)由(1)猜想Sn的表達(dá)式,再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, )為奇函數(shù),且相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個(gè)半圓,固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí),求此時(shí)三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí),三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大?并求出這個(gè)最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四個(gè)結(jié)論:
(1)AC⊥BD;
(2)△ACD是等邊三角形
(3)AB與平面BCD所成的角為60°;
(4)AB與CD所成的角為60°.
則正確結(jié)論的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為 的等腰三角形.
(1)求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大;
(2)求四棱錐V﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】靖國(guó)神社是日本軍國(guó)主義的象征.中國(guó)人民珍愛(ài)和平,所以要堅(jiān)決反對(duì)日本軍國(guó)主義. 2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國(guó)神社,此舉在世界各國(guó)激起輿論的批評(píng).某報(bào)的環(huán)球輿情調(diào)查中心對(duì)中國(guó)大陸七個(gè)代表性城市的1000個(gè)普通民眾展開(kāi)民意調(diào)查. 某城市調(diào)查體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
性別 中國(guó)政府是否 需要在釣魚(yú)島和其他爭(zhēng)議 問(wèn)題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬 | 男 | 女 |
需要 | 50 | 250 |
不需要 | 100 | 150 |
(1) 試估計(jì)這七個(gè)代表性城市的普通民眾中,認(rèn)為 “中國(guó)政府需要在釣魚(yú)島和其他爭(zhēng)議問(wèn)題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬” 的民眾所占比例;
(2) 能否有以上的把握認(rèn)為這七個(gè)代表性城市的普通民眾的民意與性別有關(guān)?
(3) 從被調(diào)查認(rèn)為“中國(guó)政府需要在釣魚(yú)島和其他爭(zhēng)議問(wèn)題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬” 的民眾中,采用分層抽樣的方式抽取6人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,然后在這6人中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取2人進(jìn)行電視專(zhuān)訪(fǎng),記被抽到的2人中女性的人數(shù)為,求的分布列.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)計(jì)算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓錐如圖①所示,圖②是它的正(主)視圖.已知圓的直徑為, 是圓周上異于的一點(diǎn), 為的中點(diǎn).
(I)求該圓錐的側(cè)面積S;
(II)求證:平面⊥平面;
(III)若∠CAB=60°,在三棱錐中,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-lnx。
(Ⅰ)當(dāng)a=時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,求a的取值范圍。
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