Question

18．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N為BB₁的中點(diǎn)，則直線AN與B₁C所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，先求向量$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，夾角的余弦值，可得異面直線所成角的余弦值，可得答案．

解答 解：分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為2，可得D（0，0，0），A（2，0，0），N（2，2，1），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{AN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
∴∴cos＜$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{AN}||\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線DE與B₁C所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
 故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．