Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，0），斜率為-$\sqrt{3}$，曲線C：ρ=$\frac{2}{\sqrt{cos2θ+5si{n}^{2}θ}}$．
（1）寫出直線l的一個參數(shù)方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，0），斜率為-$\sqrt{3}$，能求出直線l的一個參數(shù)方程，曲線C轉(zhuǎn)化為ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：13t²-4$\sqrt{3}t$-4=0，由此能求出|PA|•|PB|．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）∵直線l過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，0），斜率為-$\sqrt{3}$，
∴直線l的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
∵曲線C：ρ=$\frac{2}{\sqrt{cos2θ+5si{n}^{2}θ}}$，
∴${ρ}^{2}=\frac{4}{cos2θ+5si{n}^{2}θ}$，
即得ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
整理得：13t²-4$\sqrt{3}t$-4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁+t₂=-$\frac{4}{13}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{4}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段積的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．