Question

16．如圖，三棱柱$ABC-A_1^{\;}B_1^{\;}C_1^{\;}$中，$A_1^{\;}A⊥底面ABC$，$AC=AB=AA_1^{\;}=4$，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱$B_1^{\;}C_1^{\;}$的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：$A_1^{\;}D⊥$平面$BB_1^{\;}C_1^{\;}C$；
（Ⅱ）求三棱錐$C_1^{\;}-ADC$的體積．

Answer 1

分析 （I）BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，則四邊形AA₁DE是平行四邊形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面BCC₁B₁；
（II）以平面CC₁D為棱錐的底面，則AE為棱錐的高，代入公式計(jì)算即可．

解答 證明：（I）取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AE?平面ABC，
∴CC₁⊥AE，
∵AC=AB，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
又CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵AA₁∥CC₁∥DE，
∴四邊形AA₁DE是平行四邊形，
∴A₁D∥AE．
∴A₁D⊥平面BCC₁B₁．
解：（II）∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴BC=4$\sqrt{2}$，AE=CE=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁C₁，
∴V${\;}_{{C}_{1}-ADC}$=V${\;}_{A-C{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△C{C}_{1}D}$•AE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．