Question

1．如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，Q為底面圓周上一點．
（Ⅰ）若QB的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，求此圓錐的體積和側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形三線合一得出QB⊥SC，QB⊥OC，故而QB⊥平面SOC，于是QB⊥OH，結(jié)合OH⊥SC得出OH⊥平面SQB；
（Ⅱ）利用圓的性質(zhì)和勾股定理求出圓錐的底面半徑，根據(jù)軸截面的性質(zhì)求出圓錐的高和母線長，代入公式計算體積和側(cè)面積．

解答 證明：（Ⅰ）連接OC，
∵SQ=SB，OQ=OB，C是BQ的中點
∴QB⊥SC，QB⊥OC，
又OC?平面SOC，SC?平面SOC，OC∩SC=C，
∴QB⊥平面SOC．
∵OH?平面SOC，
∴QB⊥OH，
又∵OH⊥SC，SC?平面SBQ，QB?平面SBQ，SC∩QB=C，
∴OH⊥平面SQB．
（Ⅱ）連接AQ．
∵AB為圓O的直徑，
∴AQ⊥QB．
∵∠AOQ=60°，∴∠QBA=30°，
∵QB=2$\sqrt{3}$，∴AQ=2，AB=4．
∵△SAB是等腰直角三角形，
∴SO=$\frac{1}{2}$AB=2，SA=$\sqrt{2}OA$=2$\sqrt{2}$．
∴V_圓錐=$\frac{1}{3}$π•OA²•SO=$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×2$=$\frac{8}{3}$π．
S_側(cè)=π×OA×SA=$π×2×2\sqrt{2}$=$4\sqrt{2}π$．

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，圓錐的體積與側(cè)面積計算，屬于中檔題．