Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a≥1．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求h（x）=f（x）+g（x）在（1，h（1））處的切線方程；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對數(shù)，計算f′（2）=0，求出a的值，從而求出h（x）的表達(dá)式，求出切線方程即可；
（2）問題等價于對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，確定a的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$，x=2是函數(shù)f（x）的極值點，
∴f'（2）=0，即$1-\frac{a^2}{4}$，又a≥1，∴a=2，
∴$h（x）=f（x）+g（x）=2x+\frac{4}{x}+lnx$，
∴$h'（x）=2-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x}$，
∴$k=h'（1）=2-\frac{4}{1^2}+\frac{1}{1}=-1$，又h（1）=6，
∴所求的切線方程是  y-1=-（x-6），
即  y=-x+7．
（2）對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價于對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，
當(dāng)x∈[1，e]時，$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$，
∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)，
∴[g（x）]_max=g（e）=e+1，
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0；
①當(dāng)1≤a≤e時，
若1≤x＜a，則$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
若a＜x≤e，則$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（a）=2a，
由2a≥e+1，得a≥$\frac{e+1}{2}$，又1≤a≤e，∴$\frac{e+1}{2}$≤a≤e；
②．當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)，
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$，
由$e+\frac{a^2}{e}$≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又a＞e，∴a＞e，
綜上所述，a的取值范圍為$[{\frac{e+1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．