Question

16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：OC∥AD；
（2）若AD=2，AC=$\sqrt{5}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠ACO，從而判斷OC∥AD即可；
（2）連接BC，證△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形得出的對應邊成比例線段，可將AB的長求出．

解答 （1）證明∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，∴OC∥AD．
（2）解：由（1）知OC∥AD且OC⊥DC，
∴AD⊥DC，即∠ADC=90°，
連接BC，如圖示：

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，
又∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵AD=2，AC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了圓的切線問題，考查三角形相似的應用，是一道中檔題．