【題目】已知點和動點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓.

(1)求動點的軌跡方程;

(2)已知點, ,經(jīng)過點的直線與動點的軌跡交于, 兩點,求證:直線與直線的斜率之和為定值.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析:

1設以線段為直徑的圓的圓心為,取,借助幾何知識分析可得動點的軌跡是以為焦點,長軸長為4的橢圓,根據(jù)待定系數(shù)法可得動點的軌跡方程為.(2)①當直線垂直于軸時,不合題意;②當直線的斜率存在時,設直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后可得二次方程,根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系及斜率公式可得,為定值.

試題解析:

(1)如圖,設以線段為直徑的圓的圓心為,取.

依題意,圓內(nèi)切于圓,設切點為,則, , 三點共線,

的中點, 中點,

.

,

∴動點的軌跡是以為焦點,長軸長為4的橢圓,

設其方程為

, ,

,

,

動點的軌跡方程為.

2①當直線垂直于軸時,直線的方程為,此時直線與橢圓相切,與題意不符.

②當直線的斜率存在時,設直線的方程為.

消去y整理得.

∵直線與橢圓交于 兩點,

,

解得

,

,

(定值)

練習冊系列答案
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